Traktat: Fibonacci

"Fibonacci" Gemälde von Br Jens Rusch

Fibonacci

Sebastian Müller

„Das Buch der Natur ist mit mathematischen Symbolen geschrieben. Genauer: Die Natur spricht die Sprache der Mathematik: die Buchstaben dieser Sprache sind Dreiecke, Kreise und andere mathematische Figuren“.

Galileo Galilei (1564 - 1642), italienischer Mathematiker, Philosoph und Physiker

Bittet man unterschiedliche Menschen, die verschiedenen, wissenschaftlichen Disziplinen auf ihren philosophischen Gehalt, oder gar nach ihrem Unterhaltungswert zu ordnen, so dürfte die Mathematik wohl eher einen der unteren Plätze beziehen.

Und trotzdem, obwohl die Fibonacci Folge aus der Mathematik hergeleitet wurde, übt sie schon seit, mittlerweile mehreren Jahrhunderten, eine besondere, mystische Faszination auf uns Menschen aus.

Viele bedeutende Künstler aller Richtungen, vor Allem aus der Renaissance aber auch aus der Moderne wurden und werden von ihr inspiriert.

Sogar der große Goethe schrieb einst: „Vollkommenheit kann mit Disproportion bestehen, Schönheit allein mit Proportion.“

Einige Menschen sehen in ihr sogar so etwas, wie einen göttlichen Fingerabdruck, andere bezeichnen sie als Ausdruck höchster Vollkommenheit.

Woran liegt das?

Entdeckt wurde die Fibonacci Folge bereits im 12. Jahrhundert, also noch vor der Renaissance, von Leonardo de Pisa, genannt Fibonacci ("Leonardus filius Bonaccij", Sohn des Bonacci). Er war nicht nur einer der herausragendsten Mathematiker seiner Zeit, sondern galt auch in anderen Bereichen als sehr gebildet, weltoffen und tolerant. Da er einen muslimischen Lehrer hatte, lernte er schon als Kind das arabische Zahlensystem kennen, dessen Möglichkeiten seine Liebe zur Mathematik erwachen ließen. Er bekam zu jener Zeit auch Zugang zu anderen Kulturen und Religionen, wie dem Islam.

Mit später folgenden Reisen, vor Allem in den Orient erweiterte er sein Wissen um ein Vielfaches. Im Jahr 1202 vollendete er sein wohl wichtigstes Werk „Liber Abaci“, das Buch vom Abakus. Ironischerweise enthielt es genau jene algebraischen Methoden, welche den Abakus überflüssig machten. Es ebnete für Europa den Weg heraus aus dem dunklen Mittelalter und begünstigte die Einführung des heutigen Dezimalsystems, dies sollte allerdings noch über 200 Jahre dauern. Fibonacci teilte damals leider das Schicksal vieler Genies, seiner Zeit so weit voraus zu sein, dass seine Entdeckungen größtenteils unverstanden blieben. Die Fibonacci Folge zählt mittlerweile wohl zu seinen größten Entdeckungen und zu den bekanntesten Zahlenfolgen überhaupt.

Kaninchenaufgabe

Und das, obwohl sie ihren Ursprung in einer Überlegung , wohl eher profaner Natur, der sogenannten „Kaninchenaufgabe“ hat: „Wieviele Kaninchenpaare entstehen im Verlauf eines Jahres aus nur einem Paar?

Ein Mann hielt ein Paar Kaninchen an einem Ort, der ringsum von einer Mauer umgeben war, um herauszufinden, wieviele Paare daraus in einem Jahr entstünden. Dabei ist es ihre Natur, jeden Monat ein neues Paar auf die Welt zu bringen, und sie gebären erstmals im zweiten Monat nach ihrer Geburt. Weil das obengenannte Paar schon im ersten Monat gebiert, kannst du es verdoppeln, so dass nach einem Monat zwei Paare da sind.

Von diesen gebiert eines, d.h. das erste, im zweiten Monat wieder; und so gibt es im zweiten Monat 3 Paare. Von denen werden in einem Monat 2 wieder trächtig, so dass im dritten Monat zwei Kaninchenpaare geboren werden; und so sind es dann in diesem Monat 5 Paare. Von denen werden im selben Monat 3 trächtig, so dass es im vierten Monat 8 Paare sind. Von diesen gebären 5 Paare wieder 5 Paare; wenn man diese zu den 8 Paaren addiert, ergeben sich im fünften Monat 13 Paare. Von denen paaren sich die 5 Paare, die in diesem Monat geboren wurden, noch nicht im selben Monat, aber die anderen 8 Paare werden trächtig; und so sind es im sechsten Monat 21 Paare. Wenn man zu diesen die 13 Paare addiert, die im siebten Monat geboren werden, werden es in diesem Monat 34 Paare sein. Wenn man zu diesen die 21 Paare addiert, die im achten Monat geboren werden, werden es in diesem Monat 55 Paare sein. Wenn man zu diesen die 34 Paare addiert, die im neunten Monat geboren werden, werden es in diesem Monat 89 Paare sein. Wenn man zu diesen wiederum die 55 Paare addiert, die im zehnten Monat geboren werden, werden es in diesem Monat 144 Paare sein. Wenn man zu diesen wiederum die 89 Paare addiert, die im elften Monat geboren werden, werden es in diesem Monat 233 Paare sein.

Und wenn man schliesslich zu diesen die 144 Paare addiert, die im letzten Monat geboren werden, sind es am Schluss 377 Paare. Und soviele Paare wird das obengenannte Paar an dem beschriebenen Ort am Ende eines Jahres auf die Welt gebracht haben. In der Abbildung hier am Rand kannst du sehen, wie wir das ausgerechnet haben, nämlich dass wir die erste Zahl mit der zweiten zusammengezählt haben, d.h. 1 mit 2; dann die zweite mit der dritten, die dritte mit der vierten, die vierte mit der fünften, und so weiter, bis wir die zehnte mit der elften zusammengezählt haben, d.h. 144 mit 233. Und so haben wir die Summe der obengenannten Kaninchenpaare, nämlich 377. Und so kannst du der Reihe nach weiterfahren für eine unbegrenzte Anzahl Monate."

Deutsche Übersetzung aus dem 12. Kapitel des Liber abaci nach der lateinischen Edition von B. Boncompagni, Rom 1857, S. 283f. Signatur 73155: 1 Natürlich ist diese Aufgabe rein theoretischer Natur, schließlich gibt Fibonacci einige Regeln vor, die gänzlich unnatürlicher Art sind:

• 1. die Kaninchen werden sich immer paaren
• 2. die Tragezeit beträgt genau einen Monat (realistisch wären 30 – 32 mittlere Tage)
• 3. die Vermehrung erfolgt inzestuös (da der Genpool sich nie erneuert)
• 4. die Kaninchen sterben nie (unwahrscheinlich, siehe 3.)

Wenn man dies vernachlässigt und monatlich die Anzahl der Kaninchen zählt, so erhält man die Fibonacci Folge:

Im ersten Monat gibt man 1 paar Kaninchen in den fiktiven Stall. Da die lieben Tierchen genau einen Monat zur Geschlechtsreife benötigen, ändert sich ihre Anzahl in diesem Monat nicht, man hat immer noch genau 1 Paar. Im zweiten Monat hat das erste Pärchen Nachwuchs bekommen, im Stall befinden sich 2 Paare.

Im darauf folgenden Monat sind es bereits 3 Kaninchen, danach 5,8,13,21,34... usw.

Jede Zahl der Folge ist also die Summe ihrer beiden Vorgängerzahlen:
1+1=2
1+2=3
2+3+=5
3+5=8
5+8=13
8+13=21
13+21=34
21+34=55
34+55=89
1,1,2,3,5,8,13,21,34,55,89,144... da die Fibonacci Folge kein Ende hat, könnte man bis in alle Unendlichkeit so fortfahren.

Ihre Rekursionsformel lautet: F(n+1)=F(n) + F(n-1) mit F(1)=1 und F(2)=1 Im Liber abaci finden sich noch sehr viele weitere Aufgaben, welche auf der Fibonacci Folge basieren.

Leonardo de Pisa ist aufgefallen, dass unter ganz bestimmten Bedingungen (nicht immer nur idealisierter Art) eine Fibonacci Folge produziert wird.

Was aber ist das Besondere an dieser Folge?

Zugegeben, dass Auszählen fiktiver Kaninchen, in fiktiven Ställen gehört sicher nicht zu den vorstellbar spannendsten Beschäftigungen, und Leonardo de Pisa wäre sicher für immer in Vergessenheit geraten, wenn da nicht ein Mann namens Luca Pacioli (1445 - 1517) gewesen wäre, welcher ihn erst 200 Jahre später wiederentdeckte.

Dieser war ebenfalls ein sehr bedeutender Mathematiker und ein begeisterter Student der Schriften Fibonaccis und Euklids, dem Entdecker des Goldenen Schnitts.

Er soll außerdem sehr eng mit Leonardo da Vinci befreundet gewesen sein und diesen sogar stark in seinem Wirken beeinflusst haben. Im Jahre 1509 erschien sein zweites Werk „Divina proportione“ (übersetzt: „die göttlichen Proportionen) in Venedig.

Dieser Name verrät schon, dass sein Urheber weit mehr als nur theoretische, anspruchsvolle Konstrukte oder Gedankenspiele in Fibonaccis Folge sah, und er war damit bei Weitem nicht allein, sein Buch führte zu einer wahren Fibonacci Welle, fast Hysterie, in ganz Europa.

Luca Pacioli fiel auf, dass sowohl die Fibonacci Sequenz als auch der goldene Schnitt Zahlenkonstellationen sind, welche von der Natur überdurchschnittlich stark bevorzugt werden und in allen möglichen Formen stets wiederzufinden sind. Er führte eine beachtliche Untersuchung an Pflanzen, Tieren und auch Menschen durch, in welcher er Proportionen von Gliedmaßen vermaß, Blätter, Blüten oder Nachkommen zählte. Fibonacci Zahlen, der Goldene Schnitt oder Kombinationen aus Beidem tauchten dabei so oft auf, dass er lebtags glaubte, etwas wahrhaft Göttliches entdeckt zu haben.

Besonders bemerkenswert ist, dass es Luca Pacioli gelang, auch in der Mathematik Zusammenhänge zwischen der Fibonacci Folge und dem Goldenen Schnitt festzustellen.

Dies wird dann deutlich, wenn man höher liegende Fibonacci Zahlenpaare teilt, je größer die Zahlen in der Folge werden, desto näher liegt ihr Verhältnis beim Goldenen Schnitt.

Dies soll in der folgenden Tabelle kurz veranschaulicht werden:

1/1
1
2/1
2
3/2
1,5
5/3
1,666...
8/5
1,6
13/8
1,625
21/13
1,61538...
34/21
1,61904...
55/34
1,617647...
Der goldene Schnitt ist das Zahlenverhältnis ϕ=1,618...

Befinden sich also zwei Strecken in diesem Verhältnis zueinander, so liegen sie im Goldenen Schnitt, da er eine irrationale Zahl ist, lässt er sich nicht als Bruch darstellen, sondern verläuft ins Unendliche.

Die Fibonacci Folge nähert sich dem Goldenen Schnitt also nur an, ohne ihn jemals genau zu erreichen.

Das Verhältnis 55/34 lässt sich jedoch, mit dem bloßen Auge, also ohne Messgeräte zu benutzen, nicht mehr von ihm unterscheiden.

Aber es geht noch weiter:

Teilt man einen Vollwinkel (360°) im Verhältnis des Goldenen Schnittes, so erhält man den Goldenen Winkel ψ .

Allerdings wird in der Praxis nur der kleinere Winkel als Goldener Winkel bezeichnet.

Wenn also im Folgenden vom Goldenen Winkel die Rede ist, ist der kleinere Winkel (137,5°) gemeint.

Goldener Winkel

Einen weiteren Zusammenhang zwischen Fibonacci Sequenz und Goldenem Schnitt zeigt sich in der Goldenen Spirale.

Legt man einem Quadrat der Seitenlänge 1, ein weiteres, gleich großes Quadrat an So entsteht ein Rechteck mit den Seitenlängen 1 und 2. Legt man nun ein weiteres Quadrat an die längere Seite, so ergibt sich ein neues Rechteck, mit den Seitenlängen 2 und 3. So fährt man immer weiter...

Die Seitenlänge der Quadrate entsprechen den Fibonacci Zahlen, die Rechtecke entsprechen dem goldenen Schnitt, weshalb sie auch Goldene Rechtecke genannt werden.

Wenn man nun die Eckpunkte der jeweiligen Quadrate durch Viertelsbogen verbindet, entsteht eine Spirale, welche als Goldene Spirale bezeichnet wird.

Fibonacci Spirale

Wie bereits erwähnt, ist die Fibonacci Sequenz auch in der Natur sehr häufig zu finden.

Einige Beispiele möchte ich nun benennen:

Zählt man die Blüten der meisten Pflanzenarten, so entspricht deren Anzahl einer Fibonacci Zahl (meist 5 oder 8). Nicht selten sind diese Blütenpflanzen in Form eines Fünfeckes, eines Pentagrammes, angeordnet.

Diese präzisen Fünfecke sind wiederum exakt nach dem goldenen Schnitt konstruiert.

Das schneckenförmige Kalkgehäuse des Nautilus, oder des menschlichen Innenohrs entspricht in seiner Steigung der goldenen Spirale.

Auch die Kerne von Sonnenblumen sind keineswegs zufällig angeordnet. Jedes einzelne Korn ist exakt um 137,5° zueinander versetzt, sie stehen also mathematisch exakt im Goldenen Winkel zueinander.

Beobachtet man den Korb der Sonnenblumen etwas genauer, so stellt man fest, das jedes Korn zu einer linksdrehenden und einer rechtsdrehenden Fibonacci Spirale gehört. Zählt man nun die Anzahl der links- und der rechtsdrehenden Spiralen, so erhält man immer benachbarte Fibonacci Zahlen (meistens 55/89).

Dieses Phänomen lässt sich allerdings nicht nur bei Sonnenblumen entdecken, man findet es auch in Gänseblümchen, der Ananas, Tannenzapfen usw. .

Nun stellt sich natürlich die Frage: Wieso bringt die Natur so etwas hervor? Auffällig ist, dass sowohl Goldener Schnitt als auch Fibonacci Folge häufig gemeinsam auftreten. Man könnte also geneigt sein, zu glauben, dass Beide den selben kausalen Hintergrund haben, dies ist jedoch ein Irrtum.

Beim Goldenen Schnitt weiß man mittlerweile, dass er sich dann in der Natur zeigt, wenn optimale Proportionen/ Verhältnisse gefragt sind.

Teilt man die Gesamtlänge des menschlichen Körpers durch den Abstand „Boden-Bauchnabel“, so ergibt sich Phi.

Dieses Verhältnis scheint sich in der Natur als besonders günstig erwiesen zu haben, weshalb es sich auch evolutionär durchgesetzt hat.

Mit der Fibonacci Sequenz ist das nicht ganz so einfach.

Lange Zeit glaubten einige Wissenschaftler, sie habe etwas mit der Optimierung von Wachstumsprozessen zu tun. Einige Wirtschaftswissenschaftler dachten sogar, man könne mit ihrer Hilfe Börsenkurse vorhersagen.

Leider wurde dies von Mathematikern eindeutig widerlegt, niemand weiß WARUM es die Fibonacci Folge gibt, man weiß nur DAS es sie gibt.

Für den wahrheitssuchenden Menschen muss das allerdings nicht unbedingt eine unbefriedigende Antwort sein.

Wie viele, unzählige Menschen wurden gerade durch ihren Mythos des Geheimnisvollen inspiriert?

Vielleicht offenbart sich gerade hier, das Göttliche in seiner Schöpfung?

Quellen:

• http://www.ijon.de/mathe/fibonacci/index.html
• http://www.library.ethz.ch/exhibit/fibonacci/fibonacci-poster-04-kaninchen.html
• http://www.was-darwin-nicht-wusste.de/wunder/mathematische-ueberraschungen.html
• http://matheplanet.com/default3.html?call=article.php?sid=1206&ref=http%3A%2F%2Fwww.google.de%2Furl%3Fsa%3Dt%26rct%3Dj%26q%3D%26esrc%3Ds%26source%3Dweb%26cd%3D21%26ved%3D0CGAQFjAKOAo

Links

• Fibonacci auf der website von Jens Rusch